Een bedrieglijk simpel vraagstuk
Soms lijkt een wiskundevraag zó eenvoudig dat je bijna niet kunt geloven dat er iets mis kan gaan. Toch laten veel mensen zich erdoor misleiden. Een klassiek voorbeeld is het zogeheten knuppel-en-bal-probleem. Het gaat als volgt:
Je koopt een honkbalknuppel en een bal. Samen kosten ze €1,10. De knuppel kost precies €1 meer dan de bal. Hoeveel kost de bal afzonderlijk?
In eerste instantie lijkt dit een kwestie van even snel hoofdrekenen. De meeste mensen denken: “Als de knuppel €1 duurder is, dan moet de bal wel €0,10 kosten.” Het voelt logisch, gaat razendsnel in je hoofd, en lijkt meteen het juiste antwoord. Toch is het fout.
De correcte redenering stap voor stap
Om het goed op te lossen, moet je even stilstaan en de situatie in een vergelijking gieten. Stel dat de prijs van de bal x euro is. Volgens de opgave kost de knuppel dan x + €1,00. Als je die twee prijzen optelt, kom je uit op de totale prijs van €1,10. In formulevorm:
x + (x + 1,00) = 1,10
Als we de haakjes wegwerken, krijgen we:
2x + 1,00 = 1,10
Nu halen we 1,00 van beide kanten af, waardoor er overblijft:
2x = 0,10
De laatste stap is beide kanten delen door 2:
x = 0,05
De bal kost dus €0,05 (5 cent) en de knuppel €1,05. Samen vormen ze de totaalprijs van €1,10.
Waarom ons brein ons voor de gek houdt
Het knuppel-en-bal-vraagstuk is beroemd geworden in de psychologie, omdat het laat zien hoe sterk ons intuïtieve denken kan zijn én hoe vaak het ons misleidt. Veel mensen vereenvoudigen onbewust de zin “de knuppel kost €1 meer dan de bal” tot “de knuppel kost €1”, waarna het resterende bedrag automatisch aan de bal wordt toegekend. Die denkstap is snel, voelt vanzelfsprekend, maar negeert dat de balprijs ook deel uitmaakt van het verschil van €1.
Deze denkfout komt niet alleen voor bij mensen die “niet goed zijn” in wiskunde. In experimenten van professor Shane Frederick, die in 2005 de Cognitive Reflection Test ontwikkelde, gaven zelfs studenten van topuniversiteiten zoals Harvard en Yale vaak eerst het verkeerde antwoord. Pas als ze bewust even de tijd namen en het probleem uitschreven, kwamen ze op het juiste resultaat.
De les van dit raadsel
Het knuppel-en-bal-vraagstuk leert ons dat we niet te snel moeten vertrouwen op onze eerste ingeving bij ogenschijnlijk eenvoudige problemen. Ons snelle, intuïtieve denken is handig in veel situaties, maar kan in logische puzzels en wiskundige redeneringen tot fouten leiden. Door even te pauzeren, de gegevens op te schrijven en stap voor stap te redeneren, voorkom je dat je in deze valkuil trapt.
Bronnen: The Guardian – The bat, the ball and the bamboozle, Association for Psychological Science.
